# 凿构周期律 · 数学系列（二十五）人类精神的荣誉
**作者**: Han Qin
**日期**: 2026-09-27T22:02:05.000Z
**来源**: [https://x.com/hqinjarsy/status/2104330763747623131](https://x.com/hqinjarsy/status/2104330763747623131)
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2026年九月十一日, 一份声明在网上发布, 陶哲轩的网志随即转载, 题目是数学里的人工智能出现了严重的错位。发布时署名的是二十五位菲尔兹奖得主。声明里最要紧的一句, 大意是: 解决问题只是一件工具, 一个替代的指标, 数学首要的目标是概念上的理解和洞见。
同样的意思, 一百九十六年前有人在一封信里写过。
1829年四月六日, 挪威的阿贝尔死于肺结核, 二十六岁。第二年六月, 巴黎科学院把当年的数学大奖同时颁给他和普鲁士的雅可比。一个已经不在了, 另一个二十五岁, 在柯尼斯堡教书。两个人在同几年里, 各自把椭圆函数的研究往前推了一大截。巴黎那边, 老数学家勒让德在这门学问上做了四十多年, 他没有护着自己的地盘, 反而在自己的书后面接连出补编, 把两个年轻人的结果写了进去。1829年三月, 雅可比写信追问过勒让德: 阿贝尔1826年交给科学院的那篇长论文, 也许是这个世纪数学最重要的发现, 交上去两年了, 怎么会没有引起注意。
雅可比1829年出了一本书, 叫《椭圆函数理论新基础》。科学院委托泊松就这本书作一个口头评述。评述里, 泊松引了傅里叶生前的一句话, 意思是责备阿贝尔和雅可比, 说他们没有优先去研究热的运动。傅里叶一生最出名的工作, 就是热传导的理论。1830年五月十六日, 他在巴黎去世, 当时是科学院的常务秘书之一。同一届大奖, 巴黎一个十八岁的学生伽罗瓦二月里也交了一份稿子。傅里叶去世以后, 那份稿子没有进入最后的评审, 后来也没有找到。
1830年七月二日, 雅可比在柯尼斯堡给勒让德写信。信里说到泊松的评述, 他先说读了很高兴, 两种变换讲得很好, 看得出是受了勒让德那些补编的引导。接着他说, 泊松不该在评述里重提已故傅里叶先生那句不太得体的话。然后是后来被反复引用的那几句, 大意是: 已故的傅里叶先生确实认为, 数学的主要目的是公共的效用和对自然现象的解释, 可是像他这样一位哲学家本应知道, 科学唯一的目的是人类精神的荣誉, 在这个意义上, 一个关于数的问题, 和一个关于宇宙体系的问题一样有价值。
傅里叶自己当初的原话, 今天看不到第一手的记录, 只能从泊松的引述和雅可比的概括里看出个大概。雅可比这一边是有信在的, 这封信1875年在巴黎的一份数学期刊上印了出来。
这几句话后来被抽出来单独流传, 一路被削短。科学被换成了数学, 傅里叶那一半被删掉, 剩下的常常是一句数学为了数学本身。1987年, 迪厄多内把"为了人类精神的荣誉"用作一本书的书名。可是回到原信, 雅可比说的并不是数学为了它自己。他给出的目的, 落在人类精神上。
一个说为了用处, 一个说为了人的精神。数学为了什么, 两种回答在这里碰了面, 此后在这门学问里轮流占上风。
## 二 为了用
用处这一边, 比雅可比的信早了几千年。
两河流域最早的那批泥板, 记的几乎全是谁交了多少, 还欠多少, 发给了谁。它们不是写给后人看的, 是为了下个月还能查得清。古巴比伦的学校留下一批给学生抄写的文学课文, 其中一篇从一个学生的早晨写起: 他拿着泥板去学校, 朗读, 吃午饭, 准备新板, 回家以后还要在父亲面前复诵一遍。第二天上午, 教师检查他的板子, 发现有地方缺了, 棍杖落了下来。这是课文, 不是哪一天的纪律记录, 挨打的缘由也多半是说话, 走动, 字写得不好。可是学成的书写, 大半是拿去记账的: 谁交了多少, 还欠多少, 数字要准, 因为粮食和赋税要准。学生要学成的, 是账本上不出错的那一环。
傅里叶不在这一行人的末尾, 他是这一边最体面的代表。他跟着拿破仑去过埃及, 回国以后在伊泽尔省当了十几年省长, 热的研究, 是他在格勒诺布尔的省长任上做出来的。他的热传导理论出自一个实实在在的物理问题, 而他为了解这个问题造出来的那套把函数拆成一串波的办法, 后来改变了整个分析学。有用和深刻, 在他身上本来是一件事。
二十世纪, 用处这一边长出了新的样子。炮兵的射表, 布莱切利的破译, 交易所里的价格表。数学家成群地进了国家和公司。英国政府通信总部的一个年轻人1973年想出了一个能用的公开密钥算法, 就是几年后麻省理工三个人重新想出来的那一种, 结果二十四年不能说出来, 因为它属于国家。最早想到这个方向的埃利斯, 死在它公开前不到一个月。
这一边并不只有账房和兵营。冯诺伊曼1947年写过一篇文章, 叫数学家, 说一门数学离开它的经验来源太远, 经过几代的抽象之后, 会有很严重的危险, 它可能沿着阻力最小的方向, 长成一大堆无关紧要的分支。他并不主张只做应用, 他说的是纯化和回到经验之间要轮流来。这是用处一边最有分量的一种说法: 数学需要世界, 才不至于枯萎。
可是在这一边, 算账的人也是账上的一项。泥板上那个挨了棍子的学生, 布莱切利那些签了保密条款的年轻人, 那个要升成语言员才加得了薪的女数学家, 那个二十四年不能公开署名的密码学家, 他们的数学是手段, 他们这个人, 也常常被当成手段。
## 三 为了它自己
另一边在二十世纪有一份宣言。1940年, 战争已经开始, 哈代写了《一个数学家的辩白》。他把数学家比作画家和诗人, 说美是第一道检验。他希望自己做的真正的数学离战争远一些, 并以此自慰。他没有料到, 他最喜欢的数论, 几十年后成了密码学的底子。
哈代这一边的走法, 是让数学越来越只对它自己负责。布尔巴基那一套书, 是这个方向走得最彻底的一次: 定义放在最前面, 来历放在最后面, 例子退到练习里, 人不出现。一门学问照着不给人留位置的样子改写了自己。
不管数学是为了用还是为了它自己, 算进账里的常常是数学, 不是人。代价落在具体的人身上, 而且落得很安静。
1936年图灵那篇论文里, 计算者起初是一个坐在算术本前面的人。定义取的, 只是他按规矩一步一步往下做的那一段, 他身上规矩以外的东西, 都被放在一边。机器就是这样得到的。
诺特在哥廷根讲课的最初几年, 课程表上挂的是希尔伯特的名字, 她只写作协助, 那门课不收听课费, 上去讲的却是她。她后来拿到教职资格, 当上私人讲师, 没有固定薪金, 再后来才有一份很低的教学报酬。1933年四月二十五日, 停她职的电报发到了学校。为她说话的人请了十四位数学家写评价, 从英国剑桥的哈代到东京的高木贞治, 把她的数学价值写得清清楚楚, 另有十二个学生联名。这些没有改变结果。挡住她的, 先是不许女人取得教职资格的旧规定, 后来是1933年的法律。她的数学值多少, 所有人都算得出来, 在这里一点用也没有。
四色定理那张清单上的一千九百多种图样, 每一种能不能约化, 是机器算的。机器打印出来的图样对不对, 是阿佩尔和哈肯从两家拉来的五个孩子帮着一张一张核的。里面有哈肯的女儿多罗西娅, 那几年她在念中学和大学, 此前还跟着父亲和阿佩尔用手熬了几个月。也有阿佩尔的女儿劳蕾尔, 那年十三岁, 整整干了一个月, 在七百来页里挑出八百来处错。证明的署名里没有他们。
2002年起, 佩雷尔曼把三个文件贴上网, 谁都可以下载, 不问是谁。他后来说, 证明如果是对的, 就不需要别的承认。这是这个方向最干净的一句话: 证明可以离开写它的人。可是等他成了一个显眼的人, 他说自己不能再像宠物一样被养着, 什么也不说, 所以只能退出。
用处那一边, 人是账上的一项。为了它自己这一边, 人常常不在账上。两边吵了将近两百年, 在这一点上倒是相同的: 人都不在目的那个位置上。
## 四 人被收回来
每一次, 都有人把人收回来。
1907年, 布劳威尔在阿姆斯特丹交了博士论文。在他那里, 说一件事成立, 手上要有一个做完了的构造。数学是人的心智一步一步做出来的东西, 做不出来的, 就不能说它有。第二年他又写文章说, 逻辑里最古老的规矩之一, 排中律, 不能无条件地用。后来他为这一条跟希尔伯特争了多年。
外尔是希尔伯特带出来的学生, 却在那场争执里一度站到了布劳威尔一边。1921年他写文章说数学的基础出了新的危机, 文中有一句: 布劳威尔, 这就是革命。他后来还写过一句, 大意是: 数学化很可能是人的一种创造活动, 像语言或者音乐一样, 有它原初的独创性, 它在历史上作出的那些抉择, 没有办法完全用客观的道理说尽。1946年他说起那场争论在自己身上留下的消耗, 又说, 一个数学家只要在乎自己的研究在人整个的关切和认识, 受苦和创造的存在里意味着什么, 大概都会有这种经历。
1976年八月, 多伦多大学的一个年会上, 哈肯上台讲他和阿佩尔的四色定理证明, 其中有一千二百个小时的机器计算。台下给的是礼貌的掌声, 会后一个接一个的数学家说心里不踏实。一个没有人能用手核完的证明, 算不算被知道了, 此后争了很多年。
十八年以后, 瑟斯顿写了一篇文章, 题目是论数学中的证明与进展。他先问, 数学家做成的究竟是什么。他说他不愿意把问题问成数学家怎样证明定理, 他宁可问, 数学家怎样推进人对数学的理解。说到四色定理引起的那场争议, 他的解释是: 人们并不怀疑那条定理是不是真的, 也不怀疑证明是不是对的, 争议反映的是一种一直都在的愿望, 除了知道定理为真, 还想要对一个证明有人的理解。
他在同一篇文章里讲了自己的一段经历。七十年代初, 他在叶状结构这个方向上一口气证了一批大定理。几年之内, 这个方向的人纷纷离开。有人对他说, 不是抱怨, 是恭维, 说他在把这个领域杀掉。他后来想明白了, 他的论文没有, 也没法把背后那一整套想法讲出来, 门槛太高, 而人要的, 比知识更多的是自己的理解。他又说, 数学家们最想从他那里学到的, 是他想问题的办法, 其实不是他对几何化猜想中一大类情形的那个证明。整个几何化猜想, 后来是佩雷尔曼证完的。
从布劳威尔到瑟斯顿, 这一路的意思其实只有一个: 数学不只是一堆真命题, 它是人做的事, 为人做的事。
## 五 站队
另一种看法也有它最强的说法, 值得原样摆出来。
哈代在那本《辩白》第二十四节写道, 纯数学在他看来是一块礁石, 一切唯心论到这里都要触礁: 三百一十七是一个素数, 不是因为人这样想, 也不是因为人的头脑长成了这样而不是那样, 而是因为它就是素数, 因为数学的实在就是这样造成的。哥德尔1964年说得更远: 集合论里的对象虽然离感官经验很远, 人对它们却确实有某种类似知觉的东西, 证据是那些公理会自己把自己压到人身上, 让人不得不承认它们为真。
这一派的力量在于一个朴素的事实: 没有人能投票把三百一十七变成合数。一个结果对不对, 跟谁先找到它无关, 跟哪一年找到它也无关。
这个系列站在另一边, 认为数学是构造出来的。理由就在前面二十四篇里。
负数, 虚数, 这两个名字都带着伤, 都是从它们缺了什么那一侧取的: 负站在失的那一边, 虚是说没有一个量跟它对得上。对象后来被收进来了, 名字没有换。正方形的边和对角线量不到一起, 希腊人没有去找那把不存在的尺, 改掉的是什么叫两个比相等。第五公设悬了两千年, 人们一直想从别的公设把它推出来, 后来有人干脆把它换掉, 另一种几何照样站得住, 几何从此不止一种。无穷小说不清自己是什么, 照样撑着力学和天文往下算了一百多年, 后来它在证明里的位置被一套只谈有限的语言换了下来, 二十世纪六十年代又有人造出一个带着无穷小的数系, 在里面把微积分做得一样严格。走哪一条路, 是人选的。1976年以后, 什么算一个证明, 成了公开争论的问题。真正闭合的算术和几何确实存在, 代价是它们足够弱, 弱到说不出某些话。每一次, 定义怎样改, 公理留哪一条, 什么算证明, 什么算被知道, 都是人在一个具体的年份里作出的决定。
三百一十七是素数, 前提是先有人定下了什么叫数, 什么叫整除, 什么叫素数。定下以后, 结论就由不得人了: 谁来除, 哪一年除, 都除不尽。哈代和哥德尔感到的那种强迫是真的。只是强迫人的, 是人自己搭起来的那一套。一个结论可以是客观的, 却不必是不靠人的。
这个系列从第一篇起一直在用一个字: 构。人为了装住一样东西搭起来的架子, 一套记数的办法, 一组公理, 一条什么算证明的规矩, 也包括一所大学, 一部章程, 一个奖。构装不下的东西, 这个系列叫余项。根号二是余项, 第五公设是余项, 无穷小是余项, 数不完的无穷是余项。被章程挡在门外的诺特, 被定义放在一边的, 计算者身上规矩以外的那些东西, 也是余项。这个系列的判断是, 结构上装不下的, 和制度上装不下的, 由同一个机制生出来。
人把装不下的地方凿开, 再搭一个新的构, 新的构又有装不下的东西。这个系列的名字叫凿构周期律, 说的就是这件事。1931年那条定理, 连同几年后的一处改进, 说的是: 一个足够强, 公理能一条一条机械地列出来, 又不自相矛盾的形式系统里, 总有一句话, 它在系统里面既证不了也否不掉。在那个范围里, 构不可闭合是一条被证明了的定理。出了那个范围, 构不可闭合, 余项不可消灭, 是这个系列的判断。
构是人搭的, 搭给人用。人是目的, 构是手段。二十四篇写下来, 数学史上反复出现的, 其实就是这两样东西谁在前面的争执。
## 六 机器来了
2025年七月, 澳大利亚的阳光海岸, 国际数学奥林匹克。一百一十个国家的六百三十名中学生, 分两天考, 每天四个半小时, 三道题。金牌线是三十五分, 七十二个人拿到了金牌。同一套题, 也有机器系统做了。最先公布的两套, 一套是谷歌的DeepMind做的, 一套是OpenAI做的, 都是满分四十二分里拿到三十五分。前一套的答卷由主办方的阅卷人核过, 后一套请了三位得过奖牌的前选手打分。
前一年, DeepMind两套配合使用的机器系统在当年的题目上拿到二十八分, 题目先由人译成了机器读得懂的形式语言, 在银牌线的顶上, 离金牌线差一分。给它判卷的是高尔斯和那一届选题委员会的主席迈尔斯。有几道题, 它们算了最多三天。
2025年那两套系统不是参赛选手, 没有进国家队的选拔, 没有坐进考场。两家公司都说守了同样的两场四个半小时, 可是没有人监考, 条件是公司自己定的。所以准确地说, 是分数到了金牌线, 不是拿了金牌。主办方请参与的实验室等闭幕一个星期以后再公布。没有跟主办方合作阅卷的OpenAI, 在闭幕当晚就发了消息, 说一位理事会成员要求的是等到闭幕以后。跟主办方合作的DeepMind, 等到星期一主办方放行才发。数学共同体有它自己的时钟: 投稿, 审稿, 引用, 被后来的工作用上。公司也有它的时钟: 发布日期, 第一个。这两只钟在那个星期六正面撞上了。
三个月以后又撞了一次。2025年十月, OpenAI的一位副总裁在网上说, 他们的模型找到了十个此前没有解决的埃尔德什问题的答案。埃尔德什是二十世纪最多产的数学家之一, 身后留下上千个问题, 英国数学家布卢姆建了一个网站, 一题一题记它们的状态。布卢姆很快回复说, 这是严重的误导: 模型找到的是早已解决了这些问题的旧论文, 只是他本人以前不知道。网站上写着未解决, 意思只是他个人还不知道有哪篇论文解决了它。那条帖子后来删掉了。在那几天里, 那些旧论文的作者, 差一点被一行字抹掉。
机器做成的事也是真的。2026年五月, OpenAI内部的一个模型推翻了埃尔德什关于单位距离的一个猜想。在平面上放很多点, 数一数有多少对点的距离恰好是一。埃尔德什猜, 点越多, 这样的点对涨得比点数快, 但只快一丝, 而且快出来的那一丝会越来越小。机器找到了一族排法, 快出来的那一部分不会变小。反例是机器给的。把它写成一篇人能读懂, 能核对, 能往下接着用的文章, 署名的是九位数学家, 布卢姆也在里面。
## 七 谁来负责
2023年一月, 《自然》杂志给大语言模型定下几条规矩, 第一条是任何这类工具都不能作为作者列在研究论文上。理由写得很短: 署名就意味着要为这项工作负责, 而这些工具承担不了这样的责任。后来大多数出版社都守着这一条。能为一个结果负责的, 只能是人。
2026年九月四日, Anthropic宣布, 它的几十个Claude代理在八月上中旬的十一天里, 给费马大定理做出了第一套从头到尾由计算机检查过的证明, 一千三百万行代码, 两万九千五百个中间定理。这不是费马大定理的新证明, 定理在1990年代就由人证完了。新的是, 这条人已经证完的定理, 第一次有了一套检查程序能一步一步核对的完整证明。
伦敦帝国理工学院的巴泽德做这件事已经好些年了。他从英国的研究理事会拿到一百万英镑, 五年为期, 2024年十月开工, 答应的是把费马大定理归结到二十世纪八十年代的结果。他当天在网志上写道: 祝贺。他说那套代码实现了他那个项目的一部分目标, 而且走得远得多。他接着说, 他自己要做的, 会是一份活的文档, 让人能进去探索现代的证明。那台检查程序只认得代码里的那句话是不是由代码里的公理推出来的。那句话是不是就是人心里的那条费马大定理, 要人来核对。至于证明为什么成立, 它的关键在哪里, 还有哪些想法能搬到别的问题上去, 检查程序一概不管。
三年前有一个对照。2023年十一月, 高尔斯, 格林, 曼纳斯和陶哲轩贴出一个组合学猜想的证明。几天以后, 陶哲轩开了一个项目, 把证明画成一张蓝图, 每条引理一块, 谁都可以来认领。三个星期后, 整个证明通过了机器检查, 前后有二十五个人参与。那张蓝图今天还在, 人可以顺着它看懂证明是怎么搭起来的。
2026年九月八日, OpenAI宣布, 大约一万个代理从九月一日起跑了八十八个小时, 得到了纳维斯托克斯方程那个千禧年问题的一个解答: 在一个光滑的外力推动下, 流体的速度可以在有限的时间里失控。按克莱研究所的题面, 这属于它允许的答案之一, 那份证明是否满足全部条件, 还在核查。公司说它不去领那一百万美元。克莱研究所九月十一日的声明说, 这个问题看来已经有了答案, 评估会刻意放慢, 声明没有提奖金。
公布的前一天夜里, 纽约大学的数学家巴克马斯特和他的合作者阿尔珀格仓促贴出了一篇预印本, 他们八月中在几个相近的方程上得到了相近的结果。阿尔珀格在Anthropic任职, 这项研究是他自己做的, 不是替公司做的。第二天OpenAI公布以后, 巴克马斯特发了一份声明, 问自己还没有公开的进展, 有没有可能经由某些渠道到了这家公司, 其中包括他使用这家公司编程工具时留下的数据, 同时写明他不指控任何人。他还说, 对方提出过一个折中, 条件之一是去掉阿尔珀格的署名。这些是他一方的说法。OpenAI否认看到过他们的工作, 说两份证明差别很大。它最初的回应里说, 虽然不太可能, 但无法排除由使用数据派生出来的, 去掉了身份的数据起过作用, 此后几次表态否认得更干脆。截至九月下旬, 没有一个独立的调查给出结论。可是问题已经摆在那里: 在机器的工作流程里, 一个想法是从谁那里来的, 比最后那串字是谁打出来的, 难查得多。
那份二十五位菲尔兹奖得主的声明, 就是在这之后三天发出来的。他们反对的是越来越快的批量生产, 仓促的公布, 跳过了好好写出来, 把新方法和新想法单独提炼出来, 引用前人工作这几步。他们说, 这样下去, 数学家之间一条关键的, 人和人之间的传承链会断掉, 没有数学家把这些想法细心地发展, 接进已有的数学里, 它们就永远不会真正活起来。
## 八 为了谁
从1830年到2026年, 两句话隔了一百九十六年。雅可比说的是人类精神的荣誉。二十五位菲尔兹奖得主说, 解决问题只是工具, 目标是理解。两句话落在同一个地方: 目的是人身上的一样东西。
机器来做数学以后, 各方的反应, 不约而同地把人放在了两个位置上。一头是负责的人: 期刊说署名意味着负责, 克莱研究所说要慢慢评估, 形式化的人要核对代码里那句话是不是人心里那条定理。另一头是理解的人: 巴泽德要做一份让人能进去探索的文档, 九位数学家把一个反例写成人能读的文章, 那份声明说想法要接进人的数学里才算活。机器在中间做了越来越多的事, 两头站的仍然是人。
阳光海岸那两天, 六百三十个学生各自坐在考场里。机器的三十五分是一个结果。那两天里在那些学生脑子里发生的事, 才是这门学问办这场考试的理由。
数学是人构造出来的。人是目的。这门学问的历史, 是数学和人谁才是目的的反复。有时候数学被当成目的, 计算者身上规矩以外的东西被放在一边, 核对图样的人从署名里消失。有时候数学被当成手段, 去换税粮, 换战争的胜负, 换交易所里的价差, 连同算它的人一起。机器是最新的一次反复, 不会是最后一次。它能把一套构推到离人很远的地方自己运转, 一千三百万行, 一万个代理, 八十八个小时。推得越远, 越要问一句: 这是为谁搭的。
雅可比信里那句话, 后来被人削成了数学为了数学。原句里的那个人, 一直都在。
一样东西越是能离开人自己运转, 越要记得它是为谁造的。
1843年, 一位伯爵夫人翻译了一篇文章, 讲的是一台还没有造出来的机器。她加的注约是原文的三倍长, 其中一条写着, 这台机器不会自己发起任何东西。
数还在往下算, 而追问为何而算的, 始终是人。
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